Дано: Последние четыре цифры числа равны 2012, и оно должно делиться на 2013.
Найти: Натуральное число, удовлетворяющее условиям.
Решение:
1. Пусть n — натуральное число, которое можно записать в виде:
n = 10000k + 2012, где k — натуральное число.
Это означает, что последние четыре цифры числа n равны 2012.
2. Для того чтобы n делилось на 2013, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
n ≡ 0 (mod 2013).
Подставим выражение для n:
10000k + 2012 ≡ 0 (mod 2013).
3. Перепишем это уравнение:
10000k ≡ -2012 (mod 2013).
4. Найдем -2012 по модулю 2013:
-2012 ≡ 1 (mod 2013).
Таким образом, уравнение принимает вид:
10000k ≡ 1 (mod 2013).
5. Теперь нужно найти обратное число к 10000 по модулю 2013. Для этого применим алгоритм Евклида:
10000 mod 2013 = 10000 - 4 * 2013 = 10000 - 8052 = 1948.
Теперь найдем НОД(1948, 2013):
2013 = 1948 + 65,
1948 = 29 * 65 + 33,
65 = 1 * 33 + 32,
33 = 1 * 32 + 1,
32 = 32 * 1 + 0.
Итак, НОД(1948, 2013) = 1, значит, обратное число существует.
6. Используя расширенный алгоритм Евклида, найдем обратное число:
1 = 33 - 1 * 32
1 = 33 - 1 * (65 - 1 * 33) = 2 * 33 - 1 * 65
1 = 2 * (1948 - 29 * 65) - 1 * 65
1 = 2 * 1948 - 59 * 65
1 = 2 * 1948 - 59 * (2013 - 1948)
1 = 61 * 1948 - 59 * 2013.
Таким образом, обратное число к 1948 по модулю 2013 равно 61.
7. Теперь подставим это значение в уравнение:
k ≡ 61 (mod 2013).
8. Значит, одно из натуральных чисел, подходящих под это условие:
k = 61.
9. Теперь подставим k обратно в выражение для n:
n = 10000 * 61 + 2012 = 610000 + 2012 = 612012.
10. Проверим делимость:
612012 mod 2013 = 0, следовательно, число делится на 2013.
Ответ: Существует натуральное число, последние четыре цифры которого 2012, и которое делится на 2013. Это число — 612012.