Дано: Числа, состоящие только из единиц (например, 1, 11, 111, 1111 и т.д.).
Найти: Доказать, что среди этих чисел есть число, которое делится на 2013.
Решение:
1. Числа, записываемые только единицами, можно представить в виде:
n = (10^k - 1) / 9, где k – количество единиц.
Это означает, что n может быть записано как 111...1 с k единицами.
2. Для того чтобы n делилось на 2013, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
(10^k - 1) / 9 ≡ 0 (mod 2013)
Это эквивалентно тому, что 10^k - 1 ≡ 0 (mod 2013).
3. Разложим 2013 на множители:
2013 = 3 * 11 * 61
4. Применим теорему о остатках. Чтобы 10^k - 1 делилось на 2013, необходимо, чтобы выполнялись условия:
10^k ≡ 1 (mod 3),
10^k ≡ 1 (mod 11),
10^k ≡ 1 (mod 61).
5. Найдем порядок числа 10 по каждому модулю:
- Для модуля 3: 10 ≡ 1 (mod 3), следовательно, порядок 10 равен 1.
- Для модуля 11: 10^2 ≡ 1 (mod 11), порядок 10 равен 2.
- Для модуля 61: Порядок числа 10 по модулю 61 равен 60.
6. Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) порядков:
НОК(1, 2, 60) = 60.
7. Это значит, что существует такое k, что 10^k ≡ 1 (mod 2013) при k = 60.
8. Следовательно, n = (10^60 - 1) / 9 — число, состоящее из 60 единиц, делится на 2013.
Ответ: Да, среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 2013.