Дано:
На доске написано 11 двоек.
Найти:
Может ли после нескольких операций (стереть любые два числа и записать на доске их сумму или произведение) на доске остаться число 774?
Решение:
1. На начальном этапе на доске 11 чисел, равных 2. Сумма всех чисел на доске изначально равна 11 * 2 = 22.
2. При каждой операции (сумма или произведение) мы меняем количество чисел на доске, уменьшая его на 1. Начальное количество чисел — 11. После одной операции на доске останется 10 чисел, после второй — 9, и так далее, пока не останется одно число.
3. Сначала рассмотрим, как меняется сумма чисел на доске при операциях:
- При сложении двух чисел a и b и записи их суммы, сумма всех чисел на доске увеличивается на a + b.
- При умножении двух чисел a и b и записи их произведения, сумма всех чисел на доске изменится на (a * b - a - b).
4. Изменения суммы чисел при операциях:
- При сложении: S = S + (a + b).
- При умножении: S = S + (a * b - a - b).
В обоих случаях сумма меняется на нечетное число, поскольку a и b — числа, которые мы удаляем и добавляем обратно.
5. Начальная сумма всех чисел на доске равна 22 (четное число). Поскольку при каждой операции сумма меняется на нечетное число, сумма на доске будет меняться только на нечетные числа. Значит, сумма всегда останется четным числом.
6. Проверим, является ли 774 четным числом. 774 - четное число. Но это только одно условие, нужно также проверить достижимость числа 774.
7. Выразим конечное число, используя только двоек. Пусть на доске останется число 774. Если мы достигаем числа 774, это число можно представить в виде операций с начальными числами. Поскольку мы используем только суммы и произведения, а все начальные числа - 2, то число 774 также должно соответствовать условиям операций (сумма и произведение).
8. Поскольку 774 четное число и сумма начальных чисел также четное, 774 может быть достигнуто путем последовательных операций. Следовательно, число 774 может остаться на доске после выполнения ряда операций.
Ответ:
Да, число 774 может остаться на доске после выполнения указанных операций.