Дано:
На доске написано 10 двоек.
Найти:
Может ли после нескольких операций стереть любые два числа и записать на доске их сумму или произведение на доске остаться число 1002?
Решение:
1. Начнем с того, что на доске изначально находятся 10 двоек. Обозначим число, которое мы можем получить, как x.
2. Заметим, что каждый раз, когда мы выполняем операцию, то на доске остаётся на одно число больше. При этом на доске всегда будет находиться не более 10 чисел.
3. Проверим, как ведут себя числа на доске при выполнении операций суммы и произведения. Первоначально у нас на доске 10 чисел, равных 2.
4. Для нахождения ответа будем анализировать количество двоек на доске и сумму всех чисел. На начальном этапе сумма чисел на доске равна 10 * 2 = 20.
5. Рассмотрим, как меняется сумма чисел на доске при каждой операции:
- Если мы берем два числа и записываем их сумму, сумма всех чисел на доске увеличивается на значение этих двух чисел. Таким образом, если изначально сумма чисел была S, то после выполнения этой операции сумма увеличивается на 2 * 2 = 4.
- Если мы берем два числа и записываем их произведение, то сумма чисел на доске изменится на разницу между произведением и суммой этих чисел. Например, если мы взяли числа a и b, то произведение будет a * b, а сумма изменилась на (a * b - (a + b)).
6. У нас на доске всегда происходит одно из двух изменений:
- При суммировании: S = S + 2 * a (где a - значение чисел).
- При умножении: S = S + (a * b - (a + b)).
Из этих изменений видно, что сумма чисел на доске может увеличиваться, но она всегда изменяется на нечетное число. Изначально сумма равна 20 (четное число). После каждой операции сумма остаётся четной.
7. Проверим число 1002. 1002 - четное число, что соответствует нашей задаче. Однако, необходимо учитывать, что 1002 может быть недостижимо в нашем случае. Мы должны удостовериться, что 1002 может быть достигнуто с помощью операций.
8. Проверяем делимость. 1002 делится на 2, 3, 6 и на другие числа. Попробуем упростить задачу:
Начнем с того, что мы можем достигнуть 1002, используя число 2, если это возможно. Поскольку каждое произведение или сумма добавляют к результату числа, умноженные или добавленные к 2, число 1002 может быть сложным для достижения, но возможно.
Заключение:
Число 1002 может быть достигнуто на доске. Ответ: да, число 1002 может остаться на доске после нескольких таких операций.