Дано: В кладовой 300 сапог — по 100 сапог 40-го, 41-го и 42-го размеров. Левых и правых сапог поровну — по 150 штук каждого типа.
Найти: Показать, что можно составить по крайней мере 50 пар сапог, где в каждой паре левый и правый сапоги одного размера.
Решение:
1. Обозначим количество пар для каждого размера: p_40, p_41, p_42.
2. По условию у нас 100 левых и 100 правых сапог каждого размера.
Для каждого размера i (где i = 40, 41, 42):
- Количество пар для размера i не может превышать минимальное количество левых или правых сапог этого размера. Так как у нас есть 100 левых и 100 правых сапог, максимальное количество пар для каждого размера i — 100.
Если мы составим максимальное количество пар для двух размеров, например 40-го и 41-го, это 100 пар для 40-го и 100 пар для 41-го размера. Для 42-го размера можно использовать оставшиеся сапоги, которые не вошли в пары для первых двух размеров. Мы можем составить минимум 50 пар, если у нас останется достаточное количество сапог.
Пусть x — количество пар для 40-го размера, y — количество пар для 41-го размера, z — количество пар для 42-го размера. Сумма всех пар будет x + y + z.
Чтобы минимизировать количество пар для одного размера, предположим, что x = 0, y = 0, а все пары составляются из 42-го размера. В этом случае, чтобы составить 50 пар из 42-го размера, нужно 50 левых и 50 правых сапог, и это возможно.
Если же x и y тоже не равны нулю, тогда количество пар в 42-м размере будет больше, чем 50. Поскольку 100 левых и 100 правых сапог на размер обеспечивают возможные пары, это гарантирует минимум 50 пар.
Ответ: Можно составить по крайней мере 50 пар сапог, где каждый сапог в паре имеет один и тот же размер.