дано:
- треугольник ABC.
- медиана AM, проведенная из вершины A к средней точке M стороны BC.
найти:
доказать, что медиана AM делит площадь треугольника ABC пополам.
решение:
1. Обозначим S — площадь треугольника ABC.
2. Медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника: ABM и ACM.
3. Поскольку M — середина отрезка BC, то BM = MC.
4. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
S(ABM) = (1/2) * BM * h1, где h1 — высота из точки A на основание BM.
S(ACM) = (1/2) * MC * h2, где h2 — высота из точки A на основание MC.
5. Так как BM = MC и высота h1 = h2 (высота из точки A перпендикулярна к BC), то:
S(ABM) = (1/2) * BM * h = (1/2) * MC * h = S(ACM).
6. Следовательно, площади треугольников ABM и ACM равны:
S(ABM) = S(ACM).
7. Площадь всего треугольника ABC равна:
S = S(ABM) + S(ACM) = 2 * S(ABM).
8. Таким образом, S(ABM) = S / 2 и S(ACM) = S / 2.
ответ:
медиана делит площадь треугольника пополам.