Дано: треугольник ABC с медианой AD, где D — середина стороны BC. Пусть E и F — точки на стороне AB и AC соответственно, так что отрезок EF параллелен стороне BC и равен ей пополам.
Найти: доказать, что медиана AD делит пополам отрезок EF.
Решение:
1. В треугольнике ABC медиана AD соединяет вершину A со средней точкой D стороны BC, таким образом, AD делит треугольник ABC на два треугольника ABD и ACD.
2. Отрезок EF, по определению, является средней линией треугольника ABE (где E — середина AB) и треугольника ACD (где F — середина AC), так как EF параллелен BC и EF = 1/2 * BC.
3. Поскольку EF является средней линией в треугольниках ABE и ACD, то по свойству средней линии EF делится пополам отрезком, который соединяет средние точки двух сторон треугольника.
4. Медиана AD пересекает отрезок EF в точке M. В силу свойств средней линии и медианы, точка M делит EF пополам.
5. Рассмотрим треугольник ABD. Средняя линия EF в треугольнике ABD, параллельна стороне BD и делится медианой AD на два равных отрезка.
6. То же самое верно и для треугольника ACD, где медиана AD также делит EF пополам.
Ответ: медиана треугольника делит пополам ту среднюю линию, которую она пересекает.