дано:
- четырехугольник ABCD, вписанный в окружность.
- диагональ AC, разбивающая четырехугольник на два треугольника: ABC и ACD.
найти:
доказать, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга.
решение:
1. Обозначим радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и ACD как r1 и r2 соответственно.
2. По свойству вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180°. Это значит, что углы при вершинах A и C составляют один и тот же полный угол относительно окружности.
3. Обозначим длины сторон треугольников:
- для треугольника ABC: AB = c, AC = a, BC = b.
- для треугольника ACD: AC = a, AD = d, CD = e.
4. Сумма длин отрезков, касающихся вписанных окружностей ABC и ACD:
- для треугольника ABC: s1 = (a + b + c) / 2, где s1 - полупериметр треугольника ABC.
- для треугольника ACD: s2 = (a + d + e) / 2, где s2 - полупериметр треугольника ACD.
5. По свойству касания вписанных окружностей:
r1 = (s1 - a) * h1 / s1,
r2 = (s2 - a) * h2 / s2, где h1 и h2 - высоты треугольников.
6. Так как a общая сторона для обоих треугольников, а углы при вершинах A и C равны, это означает, что r1 и r2 будут касаться, поскольку точки касания будут находиться на одной прямой.
ответ:
вписанные окружности треугольников ABC и ACD касаются друг друга.