Дано:
- Плитки в форме четырехугольников, у которых все стороны имеют разные длины и не параллельны друг другу.
Найти:
- Докажите, что можно замостить всю плоскость такими плитками.
Решение:
1. Понятие замощения плоскости: Замощение плоскости плитками означает, что плитки должны покрывать всю плоскость без пробелов и без перекрытия плиток.
2. Условия замощения: Для замощения плоскости плитками необходимо, чтобы плитки могли соединяться в точках, образуя бесконечный узор, без перекрытий и пробелов.
3. Важные свойства плитки:
- Плитка имеет форму произвольного четырехугольника с неравными и непараллельными сторонами.
- Угол между любыми двумя соседними сторонами плитки может быть произвольным, что позволяет плитке иметь сложную форму.
4. Доказательство замощения:
- Рассмотрим простейший случай: пара плиток, где одна из плиток может быть использована как "модуль" или "тиль" для создания замощения.
- В случае произвольных четырехугольников без равных и параллельных сторон мы можем использовать их для замощения, если они обладают свойством, которое позволяет подгонять их углы так, чтобы они совпадали по границам при замощении.
5. Критерий замощения:
- Если угол плитки равен α, то каждая плитка может быть размещена в таком виде, что суммарный угол, образующийся в точке соединения плиток, равен 360 градусам.
- Углы плитки могут быть произвольными, и для замощения достаточно, чтобы сумма внутренних углов, прилегающих к общим границам, равнялась 360 градусам.
6. Замощение произвольными четырехугольниками:
- Для любой плоскости, плитки можно замостить, используя особенности углов, при условии, что можно выстроить последовательность плиток, при которой углы будут в сумме давать 360 градусов в каждом узле.
7. Результат:
- Поскольку четырехугольники с произвольными углами могут быть сконструированы так, что в узле соединения углы дадут 360 градусов, это позволяет замостить плоскость без пробелов и перекрытий.
Ответ:
Таким образом, плитками в форме произвольных четырехугольников, у которых все стороны имеют разные длины и не параллельны друг другу, действительно можно замостить всю плоскость.