Дано:
- Трудоемкость изготовления шляпы первого фасона вдвое выше трудоемкости шляпы второго фасона.
- Если бы фирма выпускала только шляпы первого фасона, то суточный объем производства мог бы составить 500 шляп.
- Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен — 200 штук.
- Прибыль от продажи шляпы первого фасона — 80 ден. ед., второго фасона — 50 ден. ед.
Найти: оптимальный план выпуска шляп, максимизирующий прибыль, и максимальный размер прибыли.
Решение:
Обозначим:
- x1 — количество шляп первого фасона, которое выпускает фирма.
- x2 — количество шляп второго фасона, которое выпускает фирма.
Ограничения:
1. Трудоемкость шляпы первого фасона вдвое выше, чем второго. Пусть трудоемкость шляпы второго фасона равна 1, тогда трудоемкость шляпы первого фасона равна 2. В сутки фирма может производить не более 500 шляп первого фасона, поэтому ограничение по времени для шляп первого фасона будет:
2x1 + x2 ≤ 500 (так как трудоемкость шляпы первого фасона в 2 раза больше, а шляпы второго фасона занимают 1 единицу времени).
2. Объем сбыта ограничен — в сутки можно продать не более 200 шляп. Это накладывает следующее ограничение:
x1 + x2 ≤ 200.
3. Прибыль от продажи шляпы первого фасона — 80 ден. ед., второго фасона — 50 ден. ед. Целевая функция (максимизация прибыли):
P = 80x1 + 50x2.
Решаем задачу линейного программирования.
1. Ограничения:
- 2x1 + x2 ≤ 500
- x1 + x2 ≤ 200
- x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (так как количество шляп не может быть отрицательным).
2. Рассмотрим возможные точки пересечения ограничений.
Из второго ограничения получаем:
x2 = 200 - x1.
Подставим в первое ограничение:
2x1 + (200 - x1) ≤ 500,
2x1 + 200 - x1 ≤ 500,
x1 ≤ 300.
Таким образом, x1 может быть от 0 до 200, и x2 = 200 - x1.
3. Рассчитаем прибыль для крайних значений x1:
- Если x1 = 200, то x2 = 0, и P = 80(200) + 50(0) = 16000.
- Если x1 = 100, то x2 = 100, и P = 80(100) + 50(100) = 8000 + 5000 = 13000.
- Если x1 = 0, то x2 = 200, и P = 80(0) + 50(200) = 0 + 10000 = 10000.
Таким образом, максимальная прибыль достигается при x1 = 200 и x2 = 0, и она равна 16000 ден. ед.
Ответ:
Оптимальный план выпуска: 200 шляп первого фасона и 0 шляп второго фасона. Максимальная прибыль равна 16000 ден. ед.