Дано:
Треугольник ABC.
Точка М, для которой АМ = 1, ВМ = 2, СМ = 3.
Найти:
Доказать, что такая точка единственна.
Решение:
1. Рассмотрим отрезки AM, BM и CM в качестве сторон треугольника ABM, BСM и CAM соответственно.
2. Так как ABM, BСM и CAM являются треугольниками, то сумма длин любых двух сторон каждого треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны.
3. Значит, AM + BM > AB, BM + CM > BC и CM + AM > CA.
4. Сложим три неравенства: AM + BM + BM + CM + CM + AM > AB + BC + CA.
5. Получим: 2*(AM + BM + CM) > периметр(ABC).
6. Из неравенства треугольника ABС следует, что периметр(ABC) > 2*СМ.
7. Таким образом, 2*(AM + BM + CM) > 2*СМ.
8. Значит, AM + BM + CM > СМ.
9. Но АМ + ВМ + СМ = 6, поэтому AM + BM + CM = 6 - ВМ - СМ.
10. Получаем, что 6 - ВМ - СМ > СМ, то есть 6 > 2*СМ + ВМ.
11. Из неравенства треугольника ABС следует, что СМ < (AB + BC + CA)/2.
12. Так как АМ = 1, ВМ = 2, СМ = 3, то СМ является наибольшей из всех сторон треугольника ABС.
13. Значит, СМ < (AB + BC + CA)/2 <= 3*СМ/2.
14. Отсюда следует, что 6 > 2*СМ + ВМ > 3*СМ, то есть СМ < 2 и СМ > 1.5.
15. Таким образом, возможными значениями СМ являются числа от 1.5 до 2.
16. Рассмотрим отрезки, длины которых равны заданным значениям АМ, ВМ и СМ. Точка М должна лежать на пересечении трех окружностей с центрами в точках A, B и C и радиусами 1, 2 и 3 соответственно.
17. Так как СМ является наибольшей из всех сторон треугольника ABС, то пересечение трех окружностей с центрами в точках A, B и C и радиусами 1, 2 и 3 соответственно не может содержать более одной точки.
18. Следовательно, точка М, для которой АМ = 1, ВМ = 2, СМ = 3, единственна.
Ответ:
Точка М, для которой АМ = 1, ВМ = 2, СМ = 3, единственна.