дано: Многоугольник с периметром P. На его сторонах выбраны две точки A и B.
найти: Докажите, что отрезок AB меньше половины периметра P.
решение: Рассмотрим многоугольник с периметром P и две точки A и B на его сторонах. Обозначим расстояние между точками A и B через L. Поскольку A и B расположены на сторонах многоугольника, отрезок AB не может пересекать стороны многоугольника более чем в двух точках.
Рассмотрим два возможных пути от точки A до точки B вдоль границ многоугольника. Пусть один путь проходит по сторонам многоугольника от A до B и имеет длину d1, а другой путь — от B до A и имеет длину d2.
Так как A и B находятся на границах многоугольника, отрезок AB, соединяющий их, будет короче любого из путей вдоль границ многоугольника, то есть:
L < d1 и L < d2.
Так как сумма d1 и d2 равна периметру P (d1 + d2 = P), длина отрезка AB не может превышать половины периметра P. Итак:
L < P / 2.
Таким образом, отрезок, соединяющий две точки на сторонах многоугольника, всегда будет меньше половины периметра многоугольника.
Теперь рассмотрим случай, когда точки A и B расположены внутри многоугольника. В этом случае утверждение не обязательно верно. Если многоугольник имеет сложную форму или сильно изогнутые стороны, отрезок, соединяющий две произвольные точки внутри многоугольника, может быть больше половины периметра, в зависимости от конфигурации многоугольника и расположения точек.
ответ: Утверждение верно, если точки A и B расположены на сторонах многоугольника. Если точки A и B находятся внутри многоугольника, утверждение не обязательно верно.