Дано:
- Равносторонний треугольник ABC.
- Произвольные точки P и Q внутри этого треугольника.
Найти:
- Доказать, что отрезок PQ, соединяющий точки P и Q, короче стороны треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим длину стороны равностороннего треугольника ABC как a.
2. Поскольку треугольник равносторонний, все его углы равны 60 градусов.
3. Рассмотрим отрезок PQ внутри треугольника. Для доказательства, что PQ < a, используем неравенство треугольника и свойства равностороннего треугольника.
4. Обозначим расстояния от точки P до вершин треугольника A, B и C как PA, PB и PC соответственно. Также обозначим расстояния от точки Q до вершин треугольника как QA, QB и QC.
5. Применим теорему о медиане в треугольнике и неравенство треугольника для каждого из треугольников PAQ, PBQ и PCQ. Для этих треугольников сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны.
6. В равностороннем треугольнике с любой внутренней точкой и произвольной другой внутренней точкой отрезок, соединяющий эти две точки, будет всегда короче стороны треугольника. Это следует из того, что если бы отрезок PQ был равен или больше длины стороны треугольника, то это нарушало бы свойства неравенства треугольника, так как PQ не мог бы быть одной из сторон более длинных треугольников.
7. Следовательно, для любой произвольной пары точек внутри равностороннего треугольника, отрезок, соединяющий эти точки, будет короче стороны этого треугольника.
Ответ:
Отрезок PQ, соединяющий две произвольные точки внутри равностороннего треугольника, короче стороны треугольника.