Дано:
1. Прямоугольник ABCD с вершинами A, B, C, D.
2. На каждой стороне прямоугольника выбраны точки P, Q, R, S соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA.
Найти:
Докажите, что наименьший периметр четырёхугольника PQRS равен сумме диагоналей прямоугольника.
Решение:
1. Обозначим длины сторон прямоугольника:
- AB = a,
- BC = b.
2. Длины диагоналей прямоугольника:
- AC = √(a² + b²),
- BD = √(a² + b²).
3. Периметр четырёхугольника PQRS:
P = PQ + QR + RS + SP.
4. Для минимизации периметра воспользуемся принципом отражения:
- Отразим точку A относительно стороны BC, получим точку A'.
- Аналогично отразим точки B, C и D.
5. Минимизация периметра происходит, когда точки P, Q, R и S находятся на прямой между отражёнными точками.
6. В этом случае длина PQ + QR + RS + SP будет равна длине сумм диагоналей прямоугольника AC и BD.
7. Таким образом, минимальный периметр четырёхугольника PQRS равен AC + BD.
Ответ:
Наименьший периметр четырёхугольника с вершинами в точках на сторонах прямоугольника равен сумме диагоналей прямоугольника.