Дано:
Пусть ABCD — прямоугольник, где A, B, C и D — его вершины. На каждой стороне прямоугольника выбраны точки P, Q, R и S соответственно, где P на AB, Q на BC, R на CD, S на DA.
Найти:
Показать, что наименьший периметр четырехугольника PQRS равен сумме диагоналей прямоугольника AC + BD.
Решение:
1. Периметр четырехугольника PQRS можно выразить как P = PQ + QR + RS + SP.
2. Для минимизации периметра P воспользуемся методом отражения. Отразим точки B и D относительно линии AC, получим точки B' и D'.
3. Теперь рассмотрим сумму расстояний от точки A до точек B' и D'. Эта сумма будет минимальной, когда точки P и S будут размещены на прямой, соединяющей A с B' и D'.
4. Если разместить точки P, Q, R и S таким образом, чтобы они находились на линиях, соединяющих вершины прямоугольника и отраженные точки, мы получим минимальное расстояние.
5. Таким образом, минимизация периметра четырехугольника PQRS достигается, когда точки P и S находятся на одной прямой, а Q и R — на другой.
6. Периметр PQRS будет равен сумме длин диагоналей AC и BD, так как каждая из них представляет кратчайший путь между двумя противоположными вершинами.
7. Таким образом, мы можем записать:
P_min = AC + BD.
Ответ:
Наименьший периметр четырехугольника PQRS равен сумме диагоналей прямоугольника, то есть P_min = AC + BD, что достигается при оптимальном размещении точек P, Q, R и S.