дано:
1. Параллелограмм ABCD с вершинами A, B, C, D.
найти:
Докажите, что параллелограмм имеет центр симметрии.
решение:
1. Определим координаты вершин параллелограмма:
- A(x_A, y_A)
- B(x_B, y_B)
- C(x_C, y_C)
- D(x_D, y_D)
2. В параллелограмме выполняется условие:
- AB || CD и AD || BC.
3. Центр симметрии O параллелограмма можно найти как среднюю точку диагоналей AC и BD.
4. Координаты точки O:
O_x = (x_A + x_C) / 2
O_y = (y_A + y_C) / 2
5. Также для точки O, используя точки B и D:
O_x = (x_B + x_D) / 2
O_y = (y_B + y_D) / 2
6. Поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся пополам, то:
(x_A + x_C)/2 = (x_B + x_D)/2
(y_A + y_C)/2 = (y_B + y_D)/2
7. Это подтверждает, что точка O — центр симметрии.
8. Теперь докажем, что при симметрии относительно O каждая точка A, B, C и D переходит в свою противоположную точку:
- A' = (2O_x - x_A, 2O_y - y_A) = C
- B' = (2O_x - x_B, 2O_y - y_B) = D
- C' = (2O_x - x_C, 2O_y - y_C) = A
- D' = (2O_x - x_D, 2O_y - y_D) = B
ответ:
Параллелограмм имеет центр симметрии, который совпадает со средней точкой его диагоналей.