Дано: правильный 2n-угольник с радиусом описанной окружности R.
Найти: доказать, что у правильного 2n-угольника есть центр симметрии.
Решение:
1. Запишем координаты вершин правильного 2n-угольника. Вершины можно задать как:
A1(R*cos(2*pi*0/2n), R*sin(2*pi*0/2n)),
A2(R*cos(2*pi*1/2n), R*sin(2*pi*1/2n)),
...,
A2n(R*cos(2*pi*(2n-1)/2n), R*sin(2*pi*(2n-1)/2n)).
2. Центр симметрии должен удовлетворять условию, что для каждой вершины A_i существует точка A_(i+n), такая что A_i и A_(i+n) являются зеркальными отражениями относительно центра симметрии.
3. Рассмотрим любую вершину A_k. Ее координаты:
A_k(R*cos(2*pi*k/2n), R*sin(2*pi*k/2n)).
4. Найдем координаты точки, которая будет находиться напротив A_k на 2n-угольнике:
A_(k+n)(R*cos(2*pi*(k+n)/2n), R*sin(2*pi*(k+n)/2n)).
Это можно упростить до:
A_(k+n)(R*cos(2*pi*k/2n + pi), R*sin(2*pi*k/2n + pi)) = (-R*cos(2*pi*k/2n), -R*sin(2*pi*k/2n)).
5. Теперь покажем, что центр симметрии находится в точке (0, 0). Для этого проверим, что A_k и A_(k+n) являются противоположными точками:
A_k = (R*cos(2*pi*k/2n), R*sin(2*pi*k/2n)),
A_(k+n) = (-R*cos(2*pi*k/2n), -R*sin(2*pi*k/2n)).
6. Мы видим, что если взять среднее значение координат A_k и A_(k+n):
(x_k + x_(k+n))/2 = (R*cos(2*pi*k/2n) - R*cos(2*pi*k/2n))/2 = 0,
(y_k + y_(k+n))/2 = (R*sin(2*pi*k/2n) - R*sin(2*pi*k/2n))/2 = 0.
7. Поскольку для всех пар A_k и A_(k+n) координаты средней точки равны (0, 0), это значит, что все пары точек симметричны относительно этой точки.
Ответ: правильный 2n-угольник имеет центр симметрии в точке (0, 0).