дано:
Радиус полукруга R. Полукруг делится на три равные части хордами, проведенными через конец диаметра.
найти:
Какая часть площади полукруга находится между этими хордами.
решение:
1. Площадь полукруга:
S_полукруга = (1/2) * πR².
2. Угол, соответствующий каждой из трех равных частей:
Угол = 180° / 3 = 60°.
3. Площадь сектора, соответствующего углу 60°:
S_сектора = (60° / 360°) * S_полукруга = (1/6) * S_полукруга = (1/6) * (1/2) * πR² = (πR²) / 12.
4. Площадь между двумя хордами:
Эта площадь равна площади двух секторов, минус площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.
5. Площадь треугольника:
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой угла 60°:
S_треугольника = (1/2) * R * R * sin(60°) = (1/2) * R² * (√3/2) = (√3R²) / 4.
6. Площадь между двумя хордами:
Площадь между хордами = 2 * S_сектора - 2 * S_треугольника:
= 2 * (πR² / 12) - 2 * (√3R² / 4).
7. Упрощаем:
= (πR² / 6) - (√3R² / 2).
8. Чтобы найти часть площади, делим на площадь полукруга:
Часть = [(πR² / 6) - (√3R² / 2)] / [(1/2) * πR²].
9. Упрощаем:
Часть = [2(π/6 - √3/2)] / π = (2/6 - √3/π) = (1/3 - √3/π).
ответ:
Часть площади полукруга, находящаяся между хордами, равна (1/3 - √3/π).