Дано:
- Противоположная сторона треугольника равна 2.
- Середины двух сторон треугольника, точка пересечения медиан и одна вершина лежат на окружности.
Найти:
- Длину медианы, выходящей из этой вершины.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где сторона BC равна 2, а A — вершина, из которой проведена медиана.
2. Обозначим середины сторон AB и AC как D и E соответственно. По определению медианы, AD соединяет вершину A с серединой стороны BC.
3. Поскольку D и E — середины сторон, то:
BD = DC = 1 (так как BC = 2).
4. Точка пересечения медиан обозначается как G (центроид треугольника). По свойству центроида:
G делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть:
AG = (2/3)AD, где AD — длина медианы.
5. Поскольку D и E лежат на окружности, и G также лежит на этой окружности, можно применить теорему о медианах.
6. Длина медианы AD можно найти по формуле:
AD = √(2AB² + 2AC² - BC²) / 2.
7. Подставим значения:
Пусть AB = x и AC = y. Тогда:
AD = √(2x² + 2y² - 2²) / 2.
8. Если предположить, что AB = AC (равнобедренный треугольник), то x = y:
AD = √(4x² - 4) / 2 = √(4(x² - 1)) / 2 = √(x² - 1).
9. Теперь, чтобы найти длину медианы, воспользуемся свойством, что длина медианы, выходящей из вершины, равна:
AD = 2/3 * AG.
10. Поскольку G делит AD в отношении 2:1, имеем:
AD = 2/3 * √((2²)/3) = 2/3 * (2/√3) = 4/3√3.
Ответ:
Длина медианы, выходящей из вершины, равна 4/3√3.