Question

Постройте треугольник ABC и проведите его медианы АК и ВМ. Постройте их точку пересечения О. При построении медиан используйте команду «Середина отрезка». Проверьте, что верны отношения АО : ОК = 2 : 1 и ВО : ОМ = 2:1. Перемещайте вершины треугольника ABC и проверьте, что эта закономерность сохранится. Можете ли вы это объяснить?

Answer 1

Дано: треугольник ABC, медианы АК и ВМ, их точка пересечения О.

Найти: отношения АО : ОК и ВО : ОМ.

Решение:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Пусть D и E - середины отрезков BC и AC соответственно. Тогда медианы АК и ВМ пересекаются в точке О. Это означает, что О делит медиану АК в отношении 2:1, где 2 части от вершины А и 1 часть от середины BC. Аналогично, О делит медиану ВМ в отношении 2:1, где 2 части от вершины B и 1 часть от середины AC.

3. Поэтому АО : ОК = 2 : 1 и ВО : ОМ = 2 : 1.

Ответ: отношения АО : ОК и ВО : ОМ всегда равны 2:1 для любых перемещений вершин треугольника ABC. Это связано с тем, что точка пересечения медиан (центр масс треугольника) делит каждую медиану в постоянном отношении 2:1.