Дано:
- Окружность с центром O.
- Вписанный треугольник ABC, где угол A опирается на дугу BC.
Найти:
Докажите, что биссектрисса угла A делит дугу BC на две равные дуги.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения биссектриссы угла A с окружностью как D и E, так что AD - это биссектрисса угла A.
2. По определению биссектрисы, она делит угол A на два равных угла:
∠DAB = ∠EAC.
3. Согласно свойству вписанных углов, угол DAB опирается на дугу DB, а угол EAC - на дугу EC.
4. Таким образом, можно записать:
∠DAB = 1/2 * дуга DB,
∠EAC = 1/2 * дуга EC.
5. Поскольку ∠DAB = ∠EAC, то выполняется следующее равенство:
1/2 * дуга DB = 1/2 * дуга EC.
6. Умножив обе стороны уравнения на 2, получаем:
дуга DB = дуга EC.
7. Это значит, что биссектрисса угла A делит дугу BC на две равные дуги.
Ответ:
Биссектрисса угла, вписанного в окружность, делит дугу, на которую он опирается, на две равные дуги.