Дано:
- Окружность O радиуса R.
- Хорды AB и CD равны (AB = CD).
Найти:
Докажите, что равные хорды в окружности стягивают равные дуги.
Решение:
1. Пусть M — середина хорды AB, а N — середина хорды CD.
2. Так как AB и CD равны, то отрезки AM и MB равны, а также CN и ND равны. То есть AM = MB и CN = ND.
3. Проведем перпендикуляры OM и ON из центра окружности O к хорд AB и CD. Эти перпендикуляры являются радиусами, которые пересекаются с хордой под прямым углом.
4. Обозначим расстояния от точки O до середин хорд:
- OM = h1
- ON = h2
5. Из свойств равнобедренного треугольника, который образован радиусом и хордой, получаем:
AM = sqrt(R^2 - h1^2) и CN = sqrt(R^2 - h2^2).
6. Поскольку AB = CD, то:
sqrt(R^2 - h1^2) = sqrt(R^2 - h2^2).
7. Квадрат обеих сторон уравнения дает:
R^2 - h1^2 = R^2 - h2^2,
h1^2 = h2^2.
8. Так как h1 и h2 не могут быть отрицательными, то h1 = h2.
9. Это означает, что расстояния от центра окружности до середин хорд равны, следовательно, углы ∠AOB и ∠COD, опирающиеся на эти дуги, равны.
10. Таким образом, если углы равны, то и дуги, под которыми они лежат, тоже равны: дуга AB = дуга CD.
Ответ:
Равные хорды в окружности стягивают равные дуги.