Дано:
- Окружность с радиусом R.
- Хорда AB длиной L.
- Касательная к окружности, которая параллельна хорде AB.
Найти:
- Доказать, что точка касания касательной равноудалена от концов хорды AB.
Решение:
1. Пусть точка касания касательной к окружности — это точка T. Обозначим центр окружности как O. Также пусть T1 и T2 — точки пересечения касательной с окружностью. Поскольку касательная параллельна хорде AB, и центр окружности O лежит на прямой, перпендикулярной этой касательной, мы можем использовать свойства параллельных линий и окружностей для доказательства.
2. Проведем радиусы OC и OD к точкам касания C и D (где C и D — точки пересечения касательной с окружностью), которые параллельны хорде AB. Поскольку касательная параллельна хорде, радиус, проведенный к касательной, будет перпендикулярен этой касательной.
3. Построим перпендикуляр от центра окружности O к хорде AB, и пусть это перпендикуляр будет пересекать хорду AB в точке M. Точка M — середина хорды AB, так как перпендикуляр к хорде делит её на две равные части.
4. Радиус, проведенный к середине хорды M, является перпендикулярным к хорде AB. Так как радиус OC (или OD) к точке касания C (или D) также перпендикулярен к касательной, то отрезок OT (от центра до точки касания касательной) будет равен отрезку OM, так как OM и OT — радиусы, проведенные к параллельным линиям.
5. Отрезок OT равен OM, так как OT и OM перпендикулярны к параллельным линиям (касательной и хорде соответственно). Следовательно, расстояние от T до точки M равно расстоянию от T до концов хорды (A и B).
Ответ:
Точка касания касательной T равноудалена от концов хорды AB.