Дано:
- Квадрат ABCD.
- Точка O находится на равных расстояниях от всех вершин квадрата.
Найти:
- Доказать, что точка O лежит на пересечении диагоналей квадрата.
Решение:
1. Обозначим длину стороны квадрата как a.
2. Вершины квадрата имеют координаты:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)
3. Пусть точка O имеет координаты (x, y). Поскольку O равноудалена от всех вершин, выполняются следующие равенства расстояний:
- OA = OB = OC = OD.
4. Запишем уравнения для расстояний:
- OA = √((x - 0)² + (y - 0)²) = √(x² + y²).
- OB = √((x - a)² + (y - 0)²) = √((x - a)² + y²).
- OC = √((x - a)² + (y - a)²) = √((x - a)² + (y - a)²).
- OD = √((x - 0)² + (y - a)²) = √(x² + (y - a)²).
5. Поскольку все расстояния равны, можем выбрать равенство OA и OB:
√(x² + y²) = √((x - a)² + y²).
6. Убираем корень, получаем:
x² + y² = (x - a)² + y².
7. Упрощаем:
x² = x² - 2ax + a².
8. Сокращаем x² и получаем:
0 = -2ax + a² ⇒ 2ax = a² ⇒ x = a/2.
9. Аналогично, рассмотрим равенство OA и OD:
√(x² + y²) = √(x² + (y - a)²).
10. Убираем корень:
x² + y² = x² + (y - a)².
11. Упрощаем:
y² = y² - 2ay + a².
12. Сокращаем y² и получаем:
0 = -2ay + a² ⇒ 2ay = a² ⇒ y = a/2.
13. Таким образом, координаты точки O равны (a/2, a/2), что является центром квадрата и точкой пересечения его диагоналей.
Ответ:
Доказано, что точка O лежит на пересечении диагоналей квадрата.