а) Дано: a = 12, c = 13. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Найдем второй катет b: b = sqrt(c^2 - a^2) = sqrt(13^2 - 12^2) = sqrt(169 - 144) = sqrt(25) = 5.
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = 12 * (12 / 13) = 144 / 13.
3. Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = 5 * (5 / 13) = 25 / 13.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = 144 / 13
Проекция катета b на гипотенузу = 25 / 13
б) Дано: a = 7, b = 24. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Найдем гипотенузу c: c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(7^2 + 24^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25.
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = 7 * (7 / 25) = 49 / 25.
3. Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = 24 * (24 / 25) = 576 / 25.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = 49 / 25
Проекция катета b на гипотенузу = 576 / 25
в) Дано: a = 8, ∠A = 60°. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Гипотенуза c: c = a / cos(A) = 8 / (1 / 2) = 16.
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = 8 * (8 / 16) = 4.
3. Проекция катета b: b = sqrt(c^2 - a^2) = sqrt(16^2 - 8^2) = sqrt(256 - 64) = sqrt(192) = 8 * sqrt(3) / 2.
Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = (8 * sqrt(3) / 2) * ((8 * sqrt(3) / 2) / 16) = 12.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = 4
Проекция катета b на гипотенузу = 12
г) Дано: c = 6, ∠A = 30°. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Найдем катеты:
a = c * cos(A) = 6 * (sqrt(3) / 2) = 3 * sqrt(3).
b = c * sin(A) = 6 * (1 / 2) = 3.
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = (3 * sqrt(3)) * ((3 * sqrt(3)) / 6) = 9 / 6 = 3 / 2.
3. Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = 3 * (3 / 6) = 3 / 2.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = 3 / 2
Проекция катета b на гипотенузу = 3 / 2
д) Дано: a = 10, ∠B = 60°. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Гипотенуза c: c = a / cos(B) = 10 / (1 / 2) = 20.
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = 10 * (10 / 20) = 5.
3. Проекция катета b: b = sqrt(c^2 - a^2) = sqrt(20^2 - 10^2) = sqrt(400 - 100) = sqrt(300) = 10 * sqrt(3).
Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = (10 * sqrt(3)) * ((10 * sqrt(3)) / 20) = 15.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = 5
Проекция катета b на гипотенузу = 15
е) Дано: a = 8, ∠A = 45°. Найти проекции катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Гипотенуза c: c = a / cos(A) = 8 / (sqrt(2) / 2) = 8 * sqrt(2).
2. Проекция катета a на гипотенузу: p_a = a * (a / c) = 8 * (8 / (8 * sqrt(2))) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2.
3. Проекция катета b: b = a * tan(A) = 8 * (sqrt(2)) = 8 * sqrt(2).
Проекция катета b на гипотенузу: p_b = b * (b / c) = (8 * sqrt(2)) * ((8 * sqrt(2)) / (8 * sqrt(2))) = 1.
Ответ:
Проекция катета a на гипотенузу = sqrt(2) / 2
Проекция катета b на гипотенузу = 1