Дано:
- Прямоугольник со сторонами a и b.
- Диагональ прямоугольника.
Найти:
1. Косинусы углов, которые диагональ прямоугольника составляет с его сторонами.
2. Сравнить их с синусами этих углов.
3. Найти сумму квадратов этих косинусов.
Решение:
1. Пусть диагональ прямоугольника равна d. Из теоремы Пифагора, d можно найти как:
d = sqrt(a^2 + b^2)
2. Обозначим угол, который диагональ составляет со стороной a, как θ1. Тогда косинус этого угла:
cos(θ1) = a / d
= a / sqrt(a^2 + b^2)
Синус этого угла можно найти из тригонометрического соотношения:
sin(θ1) = sqrt(1 - cos^2(θ1))
= sqrt(1 - (a^2 / (a^2 + b^2)))
= sqrt((a^2 + b^2 - a^2) / (a^2 + b^2))
= sqrt(b^2 / (a^2 + b^2))
= b / sqrt(a^2 + b^2)
3. Обозначим угол, который диагональ составляет со стороной b, как θ2. Тогда косинус этого угла:
cos(θ2) = b / d
= b / sqrt(a^2 + b^2)
Синус этого угла:
sin(θ2) = sqrt(1 - cos^2(θ2))
= sqrt(1 - (b^2 / (a^2 + b^2)))
= sqrt((a^2 + b^2 - b^2) / (a^2 + b^2))
= sqrt(a^2 / (a^2 + b^2))
= a / sqrt(a^2 + b^2)
4. Найдём сумму квадратов косинусов:
cos^2(θ1) = (a / sqrt(a^2 + b^2))^2
= a^2 / (a^2 + b^2)
cos^2(θ2) = (b / sqrt(a^2 + b^2))^2
= b^2 / (a^2 + b^2)
Сумма квадратов косинусов:
cos^2(θ1) + cos^2(θ2) = a^2 / (a^2 + b^2) + b^2 / (a^2 + b^2)
= (a^2 + b^2) / (a^2 + b^2)
= 1
Ответ:
1. Косинусы углов, которые диагональ прямоугольника составляет со сторонами a и b, равны a / sqrt(a^2 + b^2) и b / sqrt(a^2 + b^2) соответственно.
2. Синусы этих углов равны b / sqrt(a^2 + b^2) и a / sqrt(a^2 + b^2) соответственно.
3. Сумма квадратов косинусов этих углов равна 1.