Дано:
- Прямоугольный параллелепипед с измерениями a, b, c.
Найти:
1. Косинусы углов, которые диагональ параллелепипеда составляет с его рёбрами.
2. Сумму квадратов этих косинусов.
Решение:
1. Пусть диагональ параллелепипеда равна d. По теореме Пифагора для трёхмерного пространства, её длина вычисляется как:
d = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
Обозначим углы между диагональю и рёбрами параллелепипеда как θ1, θ2 и θ3, где θ1 — угол между диагональю и ребром длиной a, θ2 — угол между диагональю и ребром длиной b, θ3 — угол между диагональю и ребром длиной c.
Косинус угла θ1 равен:
cos(θ1) = a / d
= a / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
Косинус угла θ2 равен:
cos(θ2) = b / d
= b / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
Косинус угла θ3 равен:
cos(θ3) = c / d
= c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
2. Найдём сумму квадратов этих косинусов:
cos^2(θ1) = (a / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))^2
= a^2 / (a^2 + b^2 + c^2)
cos^2(θ2) = (b / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))^2
= b^2 / (a^2 + b^2 + c^2)
cos^2(θ3) = (c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))^2
= c^2 / (a^2 + b^2 + c^2)
Сумма квадратов косинусов:
cos^2(θ1) + cos^2(θ2) + cos^2(θ3) = a^2 / (a^2 + b^2 + c^2) + b^2 / (a^2 + b^2 + c^2) + c^2 / (a^2 + b^2 + c^2)
= (a^2 + b^2 + c^2) / (a^2 + b^2 + c^2)
= 1
Ответ:
1. Косинусы углов, которые диагональ параллелепипеда составляет с его рёбрами, равны a / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), b / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) и c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) соответственно.
2. Сумма квадратов этих косинусов равна 1.