Дано:
Прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, где угол C = 90°, стороны AC = BC = a, гипотенуза AB.
Найти:
а) Какой отрезок гипотенузы между лучами, делящими прямой угол на три равные части, окажется наибольшим.
б) Какой из трех равных отрезков гипотенузы будет виден из вершины прямого угла под наибольшим углом.
Решение:
а) Лучи разделяют угол C на три равные части, то есть каждый угол составляет 30°. Обозначим точки пересечения лучей с гипотенузой AB как D и E.
Используем теорему о том, что длина отрезка, видимого под углом, пропорциональна синусу этого угла. Для вычисления длин отрезков AD и BE воспользуемся следующими соотношениями:
AD = AB * sin(30°),
BE = AB * sin(60°).
Гипотенуза AB можно найти по теореме Пифагора:
AB = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2) * a.
Теперь рассчитаем длины отрезков:
AD = (sqrt(2)*a) * sin(30°) = (sqrt(2)*a) * 0.5 = (sqrt(2)/2) * a,
BE = (sqrt(2)*a) * sin(60°) = (sqrt(2)*a) * (sqrt(3)/2) = (sqrt(6)/2) * a.
Сравнивая два отрезка:
AD < BE.
Таким образом, наибольший отрезок гипотенузы находится между лучами, делящими угол, и это отрезок BE.
б) Гипотенузу AB разделили на три равных отрезка, каждый из которых равен (sqrt(2)/3) * a. Обозначим эти отрезки как F1, F2 и F3.
Чтобы определить, какой из отрезков виден из вершины C под наибольшим углом, снова обратимся к свойству синуса. Отрезки, которые видны из вершины прямого угла, обозначены как:
F1 = AB / 3,
F2 = AB / 3,
F3 = AB / 3.
Для определения углов, под которыми они видны, мы используем следующие соотношения:
угол F1 = arcsin(F1 / AC),
угол F2 = arcsin(F2 / AC),
угол F3 = arcsin(F3 / AC).
Все углы равны, так как отрезки равны. Однако отрезок, который наиболее близко к вершине (то есть к точке C), будет виден под наибольшим углом.
Ответ:
а) Наибольший отрезок гипотенузы находится между лучами, делящими прямой угол; это отрезок BE.
б) Из вершины прямого угла под наибольшим углом виден тот отрезок гипотенузы, который ближе всего к нему.