Дано:
- Прямоугольный параллелепипед с размерами a, b, c.
Найти:
- Синусы углов, которые образует диагональ параллелепипеда с его рёбрами.
Решение:
1. Найдем длину диагонали параллелепипеда. Диагональ d можно найти по формуле:
d = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
2. Рассмотрим угол между диагональю и одним из рёбер параллелепипеда. Обозначим угол как θ.
Для нахождения угла используем скалярное произведение. Векторы, представляющие диагональ и ребро, равны:
- Вектор диагонали: (a, b, c)
- Вектор ребра: (a, 0, 0) (если рассматривать ребро вдоль оси x)
Скалярное произведение векторов:
(a, b, c) • (a, 0, 0) = a^2
Длину вектора диагонали и ребра находим:
||(a, b, c)|| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
||(a, 0, 0)|| = a
Косинус угла θ:
cos(θ) = (a^2) / (sqrt(a^2 + b^2 + c^2) * a)
cos(θ) = a / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
Синус угла θ находим через косинус:
sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))
sin(θ) = sqrt(1 - (a^2 / (a^2 + b^2 + c^2)))
sin(θ) = sqrt((b^2 + c^2) / (a^2 + b^2 + c^2))
Аналогично для рёбер (b, 0, 0) и (0, c, 0):
cos(φ) = (b^2) / (sqrt(a^2 + b^2 + c^2) * b)
cos(φ) = b / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
sin(φ) = sqrt(1 - cos^2(φ))
sin(φ) = sqrt((a^2 + c^2) / (a^2 + b^2 + c^2))
Аналогично для рёбер (0, c, 0) и (0, 0, a):
cos(ψ) = (c^2) / (sqrt(a^2 + b^2 + c^2) * c)
cos(ψ) = c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
sin(ψ) = sqrt(1 - cos^2(ψ))
sin(ψ) = sqrt((a^2 + b^2) / (a^2 + b^2 + c^2))
Ответ:
- sin(угол между диагональю и ребром a) = sqrt(b^2 + c^2) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
- sin(угол между диагональю и ребром b) = sqrt(a^2 + c^2) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
- sin(угол между диагональю и ребром c) = sqrt(a^2 + b^2) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)