а) Равносторонний треугольник со стороной a
Дано:
Сторона равностороннего треугольника a.
Найти:
Площадь треугольника.
Решение:
Для равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому полупериметр s равен:
s = a + a + a / 2 = 3a / 2.
Теперь применим формулу Герона для нахождения площади S:
S = sqrt(s * (s - a) * (s - a) * (s - a)).
Подставляем значения:
S = sqrt((3a / 2) * (3a / 2 - a) * (3a / 2 - a) * (3a / 2 - a))
= sqrt((3a / 2) * (a / 2) * (a / 2) * (a / 2))
= sqrt((3a / 2) * (a^3 / 8))
= sqrt(3a^3 / 16)
= a^2 * sqrt(3) / 4.
Ответ:
Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна a^2 * sqrt(3) / 4.
б) Равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной b
Дано:
Основание треугольника a и боковая сторона b.
Найти:
Площадь треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике можно разделить его на два равных прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины к основанию. Высота h делит основание на два равных отрезка длиной a / 2.
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты:
b^2 = (a / 2)^2 + h^2
h^2 = b^2 - (a / 2)^2
h = sqrt(b^2 - (a / 2)^2).
Теперь найдем площадь треугольника:
S = (a * h) / 2
= (a / 2) * sqrt(b^2 - (a / 2)^2).
Ответ:
Площадь равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b равна (a / 2) * sqrt(b^2 - (a / 2)^2).