а) Теорема: Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности.
Дано: Правильный многоугольник с n сторонами.
Найти: Доказать, что все его вершины лежат на одной окружности.
Решение:
1. Правильный многоугольник имеет все стороны равными и все углы равными.
2. Пусть O — центр многоугольника. Все стороны равны, следовательно, все радиусы окружности, проведенные от центра O к вершинам, равны.
3. Углы при вершинах, образуемые радиусами, равны, и каждая из этих вершин находится на одинаковом расстоянии от центра.
4. Так как все вершины равны по расстоянию от центра и равны по углам, они расположены на одной окружности, имеющей центр O и радиус, равный расстоянию от центра до любой вершины.
Ответ: Все вершины правильного многоугольника действительно лежат на одной окружности.
б) Теорема: Середины всех сторон правильного многоугольника лежат на одной окружности.
Дано: Правильный многоугольник с n сторонами.
Найти: Доказать, что середины всех сторон правильного многоугольника лежат на одной окружности.
Решение:
1. Правильный многоугольник можно разделить на n равных треугольников, где каждая вершина треугольника — вершина многоугольника.
2. Середины сторон являются точками, находящимися на равных расстояниях от центра многоугольника (так как многоугольник правильный и стороны равны).
3. Эти середины формируют другой правильный многоугольник, который также имеет центр совпадающий с центром исходного многоугольника.
4. Поскольку середины сторон находятся на одинаковом расстоянии от центра, они лежат на окружности с центром O и радиусом равным этому расстоянию.
Ответ: Середины всех сторон правильного многоугольника лежат на одной окружности.
в) Теорема: Биссектрисы углов правильного многоугольника проходят через его центр.
Дано: Правильный многоугольник с n сторонами.
Найти: Доказать, что биссектрисы углов правильного многоугольника проходят через его центр.
Решение:
1. В правильном многоугольнике все углы равны, и биссектрисы этих углов равны.
2. Биссектрисы углов внутреннего многоугольника делят углы пополам и делятся на равные части.
3. Поскольку многоугольник правильный, все углы и стороны равны, и их биссектрисы пересекаются в одной точке — центре многоугольника.
4. Каждая биссектрисса образует два равных угла и проходит через центр, так как она симметрична относительно стороны и центральной линии.
Ответ: Биссектрисы углов правильного многоугольника действительно проходят через его центр.