Дано:
Выпуклый многоугольник с n сторонами.
Найти:
Наибольшее количество острых углов в таком многоугольнике.
Решение:
1. Сначала вычислим сумму внутренних углов многоугольника с n сторонами. Сумма внутренних углов = (n - 2) * 180°.
2. Острый угол меньше 90°. Пусть k — количество острых углов. Тогда каждый острый угол имеет величину меньше 90°. Таким образом, сумма всех острых углов будет меньше 90° * k.
3. Углы, которые не являются острыми, будут равны или больше 90°. Пусть m — количество неострых углов. Тогда сумма углов неострых углов будет равна или больше 90° * m.
4. Поскольку сумма всех внутренних углов многоугольника = (n - 2) * 180°, получаем следующее неравенство:
90° * k + 90° * m ≤ (n - 2) * 180°
Так как k + m = n (все углы суммируются в n), можно переписать неравенство:
90° * k + 90° * (n - k) ≤ (n - 2) * 180°
5. Упростим неравенство:
90° * k + 90° * n - 90° * k ≤ (n - 2) * 180°
90° * n ≤ (n - 2) * 180°
90° * n ≤ 180° * n - 360°
-90° * n ≤ -360°
n ≥ 4
6. Следовательно, в многоугольнике с n сторонами наибольшее количество острых углов может быть n - 2, если n ≥ 4.
7. Например, для треугольника (n = 3) наибольшее количество острых углов равно 3 - 2 = 1. Для четырехугольника (n = 4) наибольшее количество острых углов равно 4 - 2 = 2.
Ответ:
Наибольшее количество острых углов в выпуклом многоугольнике с n сторонами равно n - 2.