Дано: Выпуклый многоугольник с `n` сторонами.
Найти: Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170°.
Решение:
1. Для начала напомним, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с `n` сторонами вычисляется по формуле:
Сумма внутренних углов = (n - 2) * 180°.
2. Обозначим количество углов, меньших 170°, как `k`. Остальные углы, соответственно, будут по крайней мере 170°.
3. Обозначим углы, которые меньше 170°, как θ1, θ2, ..., θk. Так как каждый из этих углов меньше 170°, то:
θi < 170°, для i = 1, 2, ..., k.
4. Пусть оставшиеся углы равны 170° или больше. Обозначим их углы как φ1, φ2, ..., φ(n - k). Так как углы многоугольника в сумме должны давать (n - 2) * 180°, то:
(θ1 + θ2 + ... + θk) + (φ1 + φ2 + ... + φ(n - k)) = (n - 2) * 180°.
5. Поскольку каждый из φ углов больше или равен 170°, можно записать:
φi ≥ 170°, для i = 1, 2, ..., (n - k).
6. Подставляем минимальные значения углов φ в уравнение для суммы углов:
(θ1 + θ2 + ... + θk) + 170° * (n - k) ≤ (n - 2) * 180°.
7. Упростим это уравнение:
(θ1 + θ2 + ... + θk) ≤ (n - 2) * 180° - 170° * (n - k).
8. Выразим это как:
(θ1 + θ2 + ... + θk) ≤ 180n - 360 - 170n + 170k
= 10n - 360 + 170k.
9. Поскольку θi < 170° для всех i, то:
(θ1 + θ2 + ... + θk) < 170k.
10. Сравним два неравенства:
170k < 10n - 360 + 170k.
Это неравенство упрощается до:
0 < 10n - 360.
Следовательно, n > 36.
11. Таким образом, для выполнения условия в любом выпуклом многоугольнике с `n` сторонами, если n ≤ 36, количество углов меньших 170° не может быть больше 35, так как это противоречило бы числу углов в многоугольнике.
Ответ:
В любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170°.