Дано:
Характеристическая функция вещественна.
Найти:
Доказать, что соответствующее ей распределение симметрично.
Решение с расчетом:
Если характеристическая функция F(t) вещественна, то она удовлетворяет свойству симметрии: F(-t) = F*(t), где * обозначает комплексное сопряжение.
Также, если распределение симметрично относительно некоторой точки, то его характеристическая функция чисто вещественна, т.е. F(-t) = F(t).
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть имеется распределение с характеристической функцией, которая удовлетворяет F(-t) = F(t). Тогда для любого вещественного t:
Re[F(t)] = Re[F(-t)] и Im[F(t)] = -Im[F(-t)].
Таким образом, если характеристическая функция вещественна, то она обладает свойством симметрии, что говорит о симметрии соответствующего распределения.
Ответ:
Доказано, что характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда соответствующее ей распределение симметрично.