Дано:
В розыгрыше лотереи участвует 20 шаров, обозначенных числами от 1 до 20. Случайно отбирается 8 различных шаров.
Найти:
Вероятность того, что числа на выпавших шарах окажутся: а) все четными; б) все нечетными; в) 5 четных; г) не более четырех нечетных.
Решение с расчетом:
Общее количество способов выбрать 8 шаров из 20:
C(20, 8) = 125,970.
а) Вероятность того, что все выпавшие шары будут четными:
Количество способов выбрать 8 четных шаров из 10 (четные числа от 1 до 20) и поделить на общее количество способов.
P(все четные) = C(10, 8) / C(20, 8) = 45, к/к125,970 ≈ 0.00036.
б) Вероятность того, что все выпавшие шары будут нечетными:
Так как нечетных чисел тоже 10, то вероятность будет такой же как в предыдущем ответе:
P(все нечетные) = C(10, 8) / C(20, 8) = 45, к/к125,970 ≈ 0.00036.
в) Вероятность того, что среди выпавших шаров окажется 5 четных:
Количество способов выбрать 5 четных шаров из 10, умноженное на количество способов выбрать 3 нечетных шара из 10 и поделить на общее количество способов.
P(5 четных) = (C(10, 5) * C(10, 3)) / C(20, 8) = 252, к/к125,970 ≈ 0.002.
г) Вероятность того, что среди выпавших шаров окажется не более четырех нечетных:
Это будет равно сумме вероятностей выбора 0, 1, 2, 3, или 4 нечетных чисел.
P(не более 4 нечетных) = P(0 нечетных) + P(1 нечетное) + P(2 нечетных) + P(3 нечетных) + P(4 нечетных)
= C(10, 8) / C(20, 8) + (C(10, 7) * C(10, 1)) / C(20, 8) + (C(10, 6) * C(10, 2)) / C(20, 8) + (C(10, 5) * C(10, 3)) / C(20, 8) + (C(10, 4) * C(10, 4)) / C(20, 8)
= 45, к/к125,970 + 90, к/к125,970 + 210, к/к125,970 + 252, к/к125,970 + 210, к/к125,970
≈ 0.00036 + 0.00072 + 0.00167 + 0.002 + 0.00167
≈ 0.00642.
Ответ:
а) Вероятность того, что числа на выпавших шарах окажутся все четными, равна приблизительно 0.00036.
б) Вероятность того, что числа на выпавших шарах окажутся все нечетными, равна приблизительно 0.00036.
в) Вероятность того, что среди выпавших шаров окажется 5 четных, равна приблизительно 0.002.