Для доказательства используем третий закон Кеплера, который утверждает, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу её средней расстояния от Солнца:
T² ∝ r³.
Также, из второго закона Ньютона, сила гравитационного взаимодействия F между двумя телами выражается как:
F = G * (M * m) / r²,
где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, m — масса планеты, r — расстояние между ними.
Для круговой орбиты центростремительная сила, необходимая для удержания планеты на орбите, равна гравитационной силе:
F = m * v² / r,
где v — скорость планеты.
Так как период обращения T = 2πr / v, из этого выражения находим v = 2πr / T.
Подставляем v в выражение для силы:
F = m * (2πr / T)² / r
= (4π²mr) / T².
Используя третий закон Кеплера T² ∝ r³, получаем:
F ∝ m * r / T² ∝ m / r².
Таким образом, сила гравитационного взаимодействия пропорциональна 1 / r², что и требовалось доказать.