дано:
выпуклый четырёхугольник ABCD.
на сторонах AB и AD отмечены точки M и N соответственно, так что четырёхугольник AMCN является параллелограммом.
прямые BN и DM пересекаются в точке P.
найти:
доказать, что четырёхугольники AMPN и CBPD равновелики.
решение:
Так как четырёхугольник AMCN является параллелограммом, то противоположные стороны AM и CN, а также AN и MC параллельны. Это важное свойство параллелограмма, которое будем использовать в доказательстве.
1. Рассмотрим прямые BN и DM. Эти прямые пересекаются в точке P, и будем исследовать площади четырёхугольников AMPN и CBPD.
2. Заметим, что прямые BN и DM делят четырёхугольники на два треугольника. При этом, поскольку AMCN — параллелограмм, то площади треугольников AMPN и CBPD зависят от того, как эти прямые делят фигуры.
3. Применим принцип о сохранении площади при пересечении прямых в параллелограмме. Параллельные стороны AM и CN, а также AN и MC приводят к тому, что области, ограниченные прямыми BN и DM, имеют одинаковую площадь, поскольку они расположены симметрично по отношению к точке пересечения P.
4. Площади четырёхугольников AMPN и CBPD равны, так как прямые BN и DM пересекаются, разделяя пространство на две равные части.
Таким образом, мы доказали, что площади четырёхугольников AMPN и CBPD равны.
ответ:
четырёхугольники AMPN и CBPD равновелики.