дано:
a = 5 м (длинное основание)
b = 15 м (короткое основание)
c = 12 м (диагональ)
d = 16 м (диагональ)
найти:
S (площадь трапеции)
решение:
Чтобы найти площадь трапеции, можно использовать формулу:
S = (a + b) * h / 2,
где h - высота трапеции.
Сначала найдем высоту h, используя теорему Пифагора. Для этого построим два треугольника, которые образуются при проведении высоты из вершин основания к верхнему основанию. Пусть x - расстояние от вертикальной проекции верхнего основания до начала длинного основания.
Поскольку у нас есть две диагонали и основания, мы можем выразить высоту через одну из диагоналей. Зная, что:
c^2 = h^2 + x^2
d^2 = h^2 + (b - x)^2
Подставим значения:
1) 12^2 = h^2 + x^2
144 = h^2 + x^2 (1)
2) 16^2 = h^2 + (15 - x)^2
256 = h^2 + (15 - x)^2
256 = h^2 + 225 - 30x + x^2
31 = h^2 - 30x + x^2 (2)
Теперь имеем систему из двух уравнений (1) и (2).
Подставим выражение для h^2 из первого уравнения в второе:
h^2 = 144 - x^2
Подставим это значение во второе уравнение:
31 = 144 - x^2 - 30x + x^2
31 = 144 - 30x
30x = 113
x = 113 / 30 ≈ 3.77
Теперь подставим x обратно в первое уравнение для нахождения h:
h^2 = 144 - (113/30)^2
h^2 = 144 - 12769 / 900
h^2 = 144 - 14.18 ≈ 129.82
h ≈ sqrt(129.82) ≈ 11.4 м
Теперь можем найти площадь S:
S = (5 + 15) * 11.4 / 2
S = 20 * 11.4 / 2
S = 228 / 2
S = 114 м²
ответ:
S ≈ 114 м²