дано:
сторона ромба равна 50 см, сумма диагоналей равна 124 см.
найти:
площадь ромба.
решение:
Площадь ромба можно выразить через его диагонали по формуле:
S = (d1 * d2) / 2,
где d1 и d2 — диагонали ромба.
Также известно, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на 4 прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза — это сторона ромба. Для одного из этих прямоугольных треугольников катеты равны половинам диагоналей:
a = √((d1 / 2)² + (d2 / 2)²).
Сторона ромба a равна 50 см, то есть:
50 = √((d1 / 2)² + (d2 / 2)²).
Возведём обе стороны в квадрат:
50² = (d1 / 2)² + (d2 / 2)²,
2500 = (d1² / 4) + (d2² / 4).
Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:
10000 = d1² + d2².
Теперь известно, что сумма диагоналей равна 124 см, то есть:
d1 + d2 = 124.
Предположим, что d1 = x, тогда d2 = 124 - x. Подставим это в уравнение:
10000 = x² + (124 - x)².
Раскроем скобки:
10000 = x² + (124² - 2 * 124 * x + x²),
10000 = x² + 15376 - 248x + x²,
10000 = 2x² - 248x + 15376.
Переносим все в одну сторону:
2x² - 248x + 15376 - 10000 = 0,
2x² - 248x + 5376 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D:
D = (-248)² - 4 * 2 * 5376 = 61504 - 42912 = 18592.
Корни уравнения:
x = (-(-248) ± √18592) / (2 * 2) = (248 ± √18592) / 4.
Вычислим:
√18592 ≈ 136.
Теперь находим два корня:
x1 = (248 + 136) / 4 = 384 / 4 = 96 см,
x2 = (248 - 136) / 4 = 112 / 4 = 28 см.
Таким образом, диагонали ромба могут быть 96 см и 28 см.
Теперь, зная диагонали, можем найти площадь ромба:
S = (d1 * d2) / 2 = (96 * 28) / 2 = 2688 / 2 = 1344 см².
Ответ: площадь ромба равна 1344 см².