дано:
m1 = 4 кг
m2 = 8 кг
I = 0,1 кг·м²
r = 10 см = 0,1 м
R = 20 см = 0,2 м
g = 9,8 м/с²
найти:
Угловое ускорение (e) блока и натяжения (T1 и T2) нитей
решение:
1. Применим второй закон Ньютона для масс m1 и m2:
m1 * g - T1 = m1 * a (1)
T2 - m2 * g = m2 * a (2)
где a — линейное ускорение масс.
2. Момент силы на блоке, учитывая моменты натяжения нитей:
T1 * r - T2 * R = I * e (3)
где e — угловое ускорение блока.
3. Линейное ускорение и угловое ускорение связаны через радиус:
a = e * R (4)
4. Подставим (4) в уравнения (1) и (2):
m1 * g - T1 = m1 * e * R (5)
T2 - m2 * g = m2 * e * R (6)
5. Теперь решим систему из уравнений (3), (5) и (6).
Из уравнения (5):
T1 = m1 * g - m1 * e * R (7)
Из уравнения (6):
T2 = m2 * g + m2 * e * R (8)
6. Подставим (7) и (8) в (3):
(m1 * g - m1 * e * R) * r - (m2 * g + m2 * e * R) * R = I * e
7. Упростим уравнение:
m1 * g * r - m1 * e * R * r - m2 * g * R - m2 * e * R² = I * e
8. Переносим все слагаемые с e на одну сторону:
e * (m1 * R * r + m2 * R²) = m1 * g * r - m2 * g * R - I * e
9. Переносим все слагаемые с e на одну сторону:
e * (m1 * R * r + m2 * R² + I) = m1 * g * r - m2 * g * R
10. Решаем относительно e:
e = (m1 * g * r - m2 * g * R) / (m1 * R * r + m2 * R² + I)
Подставляем известные значения:
e = (4 * 9,8 * 0,1 - 8 * 9,8 * 0,2) / (4 * 0,2 * 0,1 + 8 * 0,2² + 0,1)
e ≈ (3,92 - 15,68) / (0,08 + 0,32 + 0,1)
e ≈ (-11,76) / (0,5)
e ≈ -23,52 рад/с²
Ответ: угловое ускорение блока e ≈ -23,52 рад/с².
Теперь найдем натяжения T1 и T2.
Для T1:
T1 = m1 * g - m1 * e * R
T1 = 4 * 9,8 - 4 * (-23,52) * 0,2
T1 ≈ 39,2 + 18,816
T1 ≈ 58,016 Н
Для T2:
T2 = m2 * g + m2 * e * R
T2 = 8 * 9,8 + 8 * (-23,52) * 0,2
T2 ≈ 78,4 - 37,632
T2 ≈ 40,768 Н
ответ:
Угловое ускорение блока e ≈ -23,52 рад/с², натяжение T1 ≈ 58,02 Н, натяжение T2 ≈ 40,77 Н.