дано:
среднее арифметическое отрезков а и b равно 5,
среднее геометрическое отрезков а и b равно 4.
найти:
длины отрезков а и b.
решение:
1) Среднее арифметическое отрезков а и b выражается формулой:
ср_арифметическое = (а + b) / 2.
Так как ср_арифметическое = 5, то:
(а + b) / 2 = 5.
Умножаем обе части на 2:
а + b = 10.
2) Среднее геометрическое отрезков а и b выражается формулой:
ср_геометрическое = √(а * b).
Так как ср_геометрическое = 4, то:
√(а * b) = 4.
Возводим обе части в квадрат:
а * b = 16.
Теперь у нас есть система уравнений:
а + b = 10
а * b = 16.
Решим эту систему. Для этого подставим значение а = 10 - b в уравнение а * b = 16:
(10 - b) * b = 16.
Раскроем скобки:
10b - b^2 = 16.
Приведём к квадратному уравнению:
b^2 - 10b + 16 = 0.
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
b = (-(-10) ± √((-10)^2 - 4 * 1 * 16)) / 2 * 1.
b = (10 ± √(100 - 64)) / 2.
b = (10 ± √36) / 2.
b = (10 ± 6) / 2.
Получаем два значения для b:
b = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8,
или
b = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2.
Соответственно, а = 10 - b, так что:
если b = 8, то а = 10 - 8 = 2,
если b = 2, то а = 10 - 2 = 8.
ответ:
а = 2, b = 8 или а = 8, b = 2.