Дано:
- исходный прямоугольник с горизонтальной большой стороной. Пусть меньшая сторона равна a, а большая — b (где b > a). Размеры прямоугольника можно взять в произвольных единицах, например, в сантиметрах.
Найти: расстояние от точки М внутри исходного прямоугольника до левой и нижней стороны.
Решение:
1. Начнем с того, что мы имеем прямоугольник со сторонами a и b, где b > a.
2. Мы отрезаем квадрат с правой стороны (размер квадрата равен a), после чего остается прямоугольник размерами (b - a) и a.
3. Затем мы продолжаем процесс, отрезая квадраты по спирали:
- после первого отрезания остается прямоугольник (b - a) x a,
- отрезаем квадрат сверху размером (b - a),
- остаётся прямоугольник (b - 2a) x (a - (b - a)) = (b - 2a) x (2a - b),
- продолжаем в том же духе.
4. Этот процесс будет продолжаться, пока не останется маленькая область, не затронутая отрезанием квадратов.
5. Поскольку каждый раз отрезаемый квадрат меньше предыдущего, можно показать, что существует точка М, которая остается в пределах исходного прямоугольника и не попадает ни в один из отрезанных квадратов. Это происходит, потому что последовательно отрезаемые квадраты имеют конечные размеры и уменьшаются при каждом шаге.
6. Теперь найдем расстояние от точки М до левой и нижней стороны. Точка М будет находиться в центре оставшегося пространства после всех отрезаний.
7. Рассмотрим ситуацию, когда у нас остаётся маленький прямоугольник, размеры которого стремятся к нулю, но в течение процесса всегда остаётся какая-то точка, находящаяся на расстоянии, равном (b-a)/2 от левой стороны и (a/2) от нижней стороны, когда прямоугольник ещё не исчерпал свои размеры.
8. Поэтому, если обозначить расстояние от точки М до левой стороны как d1 и расстояние до нижней стороны как d2, то:
d1 = (b - a)/2,
d2 = a/2.
Ответ: расстояние от точки М до левой стороны равно (b - a)/2 см, расстояние до нижней стороны равно a/2 см.