Дано:
- треугольник ABC равнобедренный,
- угол B = 120°,
- боковая сторона AB = BC = 12 см,
- медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O.
Найти: длину отрезка BO.
Решение:
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медианы AA1 и BB1 также будут равны и пересекаются в точке O, которая делит их в отношении 2:1, то есть отрезок BO будет в два раза длиннее отрезка AO.
1. Сначала находим длину медианы BB1. Медиана в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, то есть B1 находится на середине отрезка AC. Для нахождения длины медианы в треугольнике с углом 120° используем формулу для медианы:
m = √(2a² + 2b² - c²) / 2,
где a и b — боковые стороны, c — основание треугольника. В нашем случае боковые стороны равны 12 см, а основание AC будет равно 12 см, так как треугольник равнобедренный.
m = √(2 * 12² + 2 * 12² - 12²) / 2,
m = √(2 * 144 + 2 * 144 - 144) / 2,
m = √(288 + 288 - 144) / 2,
m = √432 / 2,
m = √108 = 6√3 см.
Это длина медианы BB1.
2. Теперь, так как медианы пересекаются в точке O, которая делит медиану в отношении 2:1, то длина отрезка BO равна:
BO = 2/3 * 6√3 = 4√3 см.
Ответ: длина отрезка BO равна 4√3 см.