Дано:
- Диагональ ромба, исходящая из вершины угла 60°, равна 36 см.
- Ромб имеет две диагонали, пересекающиеся под прямым углом.
Найти: радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение:
1. Обозначим стороны ромба как a. Известно, что ромб состоит из четырёх равных треугольников. В этих треугольниках одна из диагонал является основанием, а другая — высотой.
2. Поскольку угол в вершине ромба равен 60°, то половина диагонали, исходящей из вершины этого угла, является половиной одной из диагонал ромба. Эта половина диагонали равна 36 / 2 = 18 см.
3. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагонал, применим теорему Пифагора для нахождения длины стороны ромба:
a² = (18)² + (18√3)²,
a² = 324 + 972,
a² = 1296,
a = √1296 = 36 см.
4. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине длины высоты ромба. Высота ромба вычисляется по формуле:
h = (1/2) * d2 * sin(угол между диагоналями),
где d2 — длина второй диагонали ромба (перпендикулярной первой диагонали).
Поскольку угол между диагоналями ромба равен 90°, находим высоту:
h = (1/2) * 36 * sin(90°) = 18 см.
5. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен:
r = h / 2 = 18 / 2 = 9 см.
Ответ: радиус окружности, вписанной в ромб, равен 9 см.