Дано:
Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями A и B (где A < B).
Высота, опущенная из вершины тупого угла (например, из вершины D) на большее основание B.
Найти:
Доказать, что эта высота делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен средней линии трапеции, а меньший — разности её оснований.
Решение:
1. Пусть высота, опущенная из вершины D, пересекает основание B в точке E.
2. Разделим большее основание B на два отрезка: BE и EC.
3. Средняя линия трапеции (M) равна полусумме её оснований:
M = (A + B) / 2.
4. Нам нужно доказать два факта:
- Отрезок BE (больший отрезок) равен средней линии трапеции M.
- Отрезок EC (меньший отрезок) равен разности её оснований:
EC = B - A.
5. Рассмотрим треугольники ADE и CDE. Поскольку трапеция равнобедренная, то треугольники ADE и CDE равны по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла, делит основание на два отрезка, и по симметрии этих отрезков выполняются условия:
- Один из отрезков (BE) равен средней линии трапеции M, потому что это средняя линия в треугольнике.
- Другой отрезок (EC) равен разности её оснований (B - A), так как высота делит большее основание на два отрезка, и один из них должен быть равен разнице оснований.
Ответ:
Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, больший из которых равен средней линии трапеции, а меньший — разности её оснований.