дано:
Параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке F.
найти:
Докажите, что четырехугольник AECF является параллелограммом.
решение:
1. Рассмотрим треугольники ABE и CDF. Поскольку биссектрисы углов A и C, то угол ABE равен углу CDF, так как они являются накрест лежащими углами, когда биссектрисы пересекаются с параллельными сторонами.
2. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, то есть:
AB || CD и AB = CD.
Также:
BC || AD и BC = AD.
3. Рассмотрим векторы:
- Вектор AE = AB + BE (где BE — отрезок на стороне BC).
- Вектор CF = CD + DF (где DF — отрезок на стороне AD).
4. Поскольку биссектрисы делят углы пополам, то стороны, на которых они пересекают, имеют пропорциональные отношения:
- BE / EC = AB / BC,
- DF / FA = CD / AD.
5. Векторы AE и CF равны, так как соответствующие стороны параллельны и равны (по свойствам параллелограмма).
6. Если противоположные стороны в четырехугольнике параллельны и равны, то данный четырехугольник является параллелограммом.
ответ:
Четырехугольник AECF является параллелограммом.