Дано: параллелограмм ABCD, точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, каждая диагональ продлена за обе вершины параллелограмма на отрезки, равные половине этой диагонали. Концы отрезков последовательно соединены.
Найти: можно ли утверждать, что получившийся четырёхугольник является параллелограммом?
Решение:
1. Параллелограмм ABCD имеет диагонали, которые пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Это свойство параллелограмма.
2. Пусть длина диагонали AC равна 2a, а длина диагонали BD равна 2b. Тогда:
- OA = OC = a
- OB = OD = b
3. Теперь рассмотрим отрезки, на которые продлеваются диагонали:
- Диагональ AC продлевается за точки A и C на отрезки длиной a, то есть, новый отрезок на продолжении AC за точками A и C будет равен a.
- Диагональ BD продлевается за точки B и D на отрезки длиной b, то есть, новый отрезок на продолжении BD за точками B и D будет равен b.
4. Получившиеся точки на продлениях диагоналей обозначим как A', C', B' и D', соответственно, для точек, продлённого продолжения диагоналей.
5. Концы этих отрезков соединены последовательно:
- A' соединяется с B'.
- B' соединяется с C'.
- C' соединяется с D'.
- D' соединяется с A'.
6. Для того чтобы утверждать, что получившийся четырёхугольник A'B'C'D' является параллелограммом, необходимо доказать, что противоположные стороны четырёхугольника параллельны и равны. Рассмотрим векторы, которые задают стороны четырёхугольника A'B'C'D':
- Вектор A'B' = B' - A'
- Вектор B'C' = C' - B'
- Вектор C'D' = D' - C'
- Вектор D'A' = A' - D'
7. Теперь проверим параллельность противоположных сторон:
- Вектор A'B' должен быть параллелен вектору C'D'.
- Вектор B'C' должен быть параллелен вектору D'A'.
8. Для этого рассчитаем векторы:
- Вектор A'B' = (B + B') - (A + A') = OB - OA
- Вектор B'C' = (C + C') - (B + B') = OC - OB
- Вектор C'D' = (D + D') - (C + C') = OD - OC
- Вектор D'A' = (A + A') - (D + D') = OA - OD
9. Так как по условию диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то векторы OA, OB, OC и OD пропорциональны векторами A'B', B'C', C'D' и D'A'.
10. В результате, противоположные стороны четырёхугольника A'B'C'D' будут параллельны и равны.
Ответ: Да, получившийся четырёхугольник является параллелограммом.