дано:
Треугольник ABC, ∠ACB = 90°, ∠A = 65°.
CH — высота, CD — биссектриса, CM — медиана.
найти:
а) ∠CDB;
б) ∠HCB;
в) ∠BCM;
г) угол между высотой CH и медианой CM.
решение:
1. Так как ∠ACB = 90° и ∠A = 65°, то ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 65° - 90° = 25°.
а) ∠CDB:
- Из условия задачи, CD — биссектриса, значит, ∠BCD = ∠BDC.
- В треугольнике BCD сумма углов равна 180°, поэтому:
∠BDC + ∠BCD + ∠CDB = 180°.
- Поскольку ∠BDC = ∠BCD, обозначим их через x. Тогда:
2x + ∠CDB = 180°.
- Мы знаем, что ∠BDC и ∠BCD — углы в прямоугольном треугольнике BCD, где ∠B = 25°.
- Следовательно, ∠CDB = 180° - 2x = 180° - 2 * 25° = 130°.
б) ∠HCB:
- CH — высота, следовательно, ∠HCB = 90° (так как высота перпендикулярна стороне BC).
в) ∠BCM:
- CM — медиана, значит, она делит сторону AB пополам. Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный относительно стороны AB, угол ∠BCM = 45°.
г) угол между высотой CH и медианой CM:
- В прямоугольном треугольнике угол между медианой и высотой, проведёнными из одной и той же вершины, равен половине угла при вершине. То есть:
угол между CH и CM = 45°.
ответ:
а) ∠CDB = 130°
б) ∠HCB = 90°
в) ∠BCM = 45°
г) угол между CH и CM = 45°