Дано:
- Гипотенуза АВ = 10 см
- Угол А = 30 градусов
Найти: радиус окружности с центром в точке В, чтобы она касалась прямой АС, имела с ней две общие точки или не имела общих точек.
Решение:
1. Определим длины катетов:
В прямоугольном треугольнике катеты можно найти по теореме синусов и тригонометрическим соотношениям.
Катет AC (противолежащий углу A):
AC = AB * sin(A) = 10 * sin(30) = 10 * 0.5 = 5 см
Катет BC (соседний к углу A):
BC = AB * cos(A) = 10 * cos(30) = 10 * (sqrt(3)/2) ≈ 10 * 0.866 = 8.66 см
2. Находим расстояние от точки B до прямой AC:
Поскольку мы имеем прямоугольный треугольник, расстояние от точки B до прямой AC будет равно длине катета AC.
Расстояние от B до AC = AC = 5 см
3. Условия касания и пересечения окружности с прямой AC:
- а) Для того чтобы окружность касалась прямой AC, радиус R должен быть равен расстоянию от точки B до прямой AC.
Таким образом, R = 5 см.
- б) Для того чтобы окружность имела с прямой AC две общие точки, радиус R должен быть больше расстояния от точки B до прямой AC.
То есть, R > 5 см.
- в) Чтобы окружность не имела общих точек с прямой AC, радиус R должен быть меньше расстояния от точки B до прямой AC.
Таким образом, R < 5 см.
Ответ:
а) Рекомендуемый радиус для касания окружности с прямой AC: R = 5 см.
б) Радиус для двух общих точек с прямой AC: R > 5 см.
в) Радиус для отсутствия общих точек с прямой AC: R < 5 см.