дано: отрезок AB — диаметр окружности с центром в точке О. Хорды AM и BN равны, MK ⊥ AB, NE ⊥ AB.
найти: доказать, что:
а) MK = NE;
б) AK = BE;
в) MN — диаметр.
решение:
а) Докажем, что MK = NE.
Поскольку MK и NE перпендикулярны диаметру AB и хорды AM и BN равны, то треугольники AMK и BNE являются прямоугольными и подобными. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как хорды AM и BN равны, то и отрезки MK и NE будут равны между собой. Следовательно, MK = NE.
б) Докажем, что AK = BE.
Треугольники AMK и BNE подобны, так как у них есть общий угол при точке O и углы прямые (по перпендикуляру). Тогда по свойству подобных треугольников можно утверждать, что отрезки AK и BE будут равны между собой. Следовательно, AK = BE.
в) Докажем, что MN — диаметр.
Так как MK и NE равны, то отрезки MK и NE лежат на одной прямой (диаметре), проходящей через точку О. Отрезки AM и BN также лежат на одной прямой, и следовательно, отрезок MN соединяет два конца диаметра. Поскольку MN пересекает диаметр в точке О, это означает, что MN является диаметром окружности.
ответ:
а) MK = NE.
б) AK = BE.
в) MN — диаметр.